Question

（2013•大連一模）.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{

2n

an

}前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0?

1

an+1

-

1

an

=1，利用等差數(shù)列的概念即可證得數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=n•2ⁿ，S_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ，利用錯位相減法即可求得數(shù)列{

2n

an

}前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）∵a_n+1+a_n•a_n+1-a_n=0，
∴

an+1+an•an+1-an

an•an+1

=0，
∴

1

an+1

-

1

an

=1，（3分）
又

1

a1

=1，
∴數(shù)列{

1

an

}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．（4分）
∴

1

an

=1+（n-1）×1=n，a_n=

1

n

．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

2n

an

=n•2ⁿ．
S_n=1×2¹+2×2²+…+n×2ⁿ．①
2S_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹．②（9分）
由①-②得-S_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹．
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．（12分）

點評：本題考查數(shù)列的求和，考查等差關(guān)系的確定，求得a_n=

1

n

是關(guān)鍵，突出考查錯位相減法求和，屬于中檔題．