Question

已知函數(shù)f(x)=

ax+b

x2+1

在點M(1，f(1))處的切線方程為x-y-1=0．
（I）求f（x）的解析式；
（II）設函數(shù)g（x）=lnx，證明：g（x）≥f（x）對x∈[1，+∞）恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把切點代入切線方程可得a+b=0，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得f^′（1）=1，又得到關于a、b的方程，聯(lián)立解出即可．
（Ⅱ）把要證lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，等價轉(zhuǎn)化為即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．進而利用導數(shù)求出函數(shù)h（x）=x²lnx+lnx-2x+2的最小值大于0即可．

解答：（Ⅰ）解：將x=1代入切線方程x-y-1=0，得y=0，∴f（1）=0．
又f(1)=

a+b

2

，化簡得a+b=0．            
f′(x)=

a(x2+1)-(ax+b)•2x

(1+x2)2

，f′(1)=

2a-2(a+b)

4

=

-2b

4

=

-b

2

=1．   
解得a=2，b=-2，
∴f(x)=

2x-2

x2+1

．  
（Ⅱ）證明：要證lnx≥

2x-2

x2+1

在[1，+∞）上恒成立，
即證（x²+1）lnx≥2x-2在[1，+∞）上恒成立，
即證x²lnx+lnx-2x+2≥0在[1，+∞）上恒成立．
設h（x）=x²lnx+lnx-2x+2，則h′(x)=2xlnx+x+

1

x

-2．
∵x≥1，∴2xlnx≥0，x+

1

x

≥2，即h'（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上x∈[1，+∞）單調(diào)遞增，h（x）≥h（1）=0
∴g（x）≥f（x）在上恒成立．

點評：掌握利用導數(shù)的幾何意義求切線的斜率及求函數(shù)的單調(diào)性是解題關鍵，必須熟練解出，并學會將問題進行等價轉(zhuǎn)化．