Question

已知橢圓C₁的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且△PF₁F₂面積的最大值為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設(shè)橢圓短軸的上端點(diǎn)為A、M為動(dòng)點(diǎn)，且成等差數(shù)列，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C₂的方程；
（3）過點(diǎn)M作C₂的切線l交于C₁與Q、R兩點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)橢圓C₁的方程，利用離心率為，可得a=2b．由橢圓幾何性質(zhì)知，當(dāng)P為橢圓的短袖端點(diǎn)時(shí)，△PF₁F₂的面積最大，根據(jù)△PF₁F₂面積的最大值為，建立方程，即可求得橢圓C₁的方程；
（2）用坐標(biāo)表示向量，利用成等差數(shù)列，建立方程，整理可得M的軌跡C₂的方程；
（3）l的斜率存在時(shí)，設(shè)l方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，借助于坐標(biāo)表示，結(jié)合l與C₂相切，可得；當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l：x=，代入橢圓方程，求出Q，R的坐標(biāo)，即可證得結(jié)論．
解答：（1）解：設(shè)橢圓C₁的方程為，∴，所以a=2b．
由橢圓幾何性質(zhì)知，當(dāng)P為橢圓的短袖端點(diǎn)時(shí)，△PF₁F₂的面積最大，故，∴a=2，b=1，
故所求橢圓方程為；
（2）解：由（1）知A（0，1），F(xiàn)₁=（），設(shè)M（x，y）則
由題意得，∴
整理得M的軌跡C₂的方程為；
（3）證明：l的斜率存在時(shí)，設(shè)l方程為y=kx+m，代入橢圓方程并整理得（1+4k²）x²+8mkx+4m²-4=0．
△=（8km）²-16（m²-1）（1+4k²）＞0，
設(shè)Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），∴
所以，
則=
又因?yàn)閘與C₂相切，所以，∴5m²-4k²-4=0
所以，
當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，l：x=，代入橢圓方程解得或，此時(shí)
綜上所述，
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．