Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量

m

=（a，

1

2

），

n

=（cosC，c-2b），且

m

⊥

n

（1）求角A的大小；
（2）若|

AC

|+|

AB

|=

3

|

BC

|，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)

m

⊥

n

利用向量的數(shù)量積運算公式，得2acosC+c-2b=0．再根據(jù)正弦定理和三角恒等變換公式化簡，得sinC（1-2cosA）=0，由sinC＞0得1-2cosA=0，從而cosA=

1

2

，可得A=

π

3

；
（2）題中等式即b+c=

3

a，利用正弦定理變形得sinB+sinC=

3

sinA，將A=

π

3

和sinB=sin（A+C）代入化簡，可得sin（C+

π

6

）=

3

2

，從而算出角B、C的大小，得到△ABC是直角三角形．

解答：解：（1）∵

m

=（a，

1

2

），

n

=（cosC，c-2b），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=acosC+

1

2

（c-2b）=0，即2acosC+c-2b=0．
根據(jù)正弦定理，得2sinAcosC+sinC-2sinB=0，…（*）
∵A+C=π-B，得sin（A+C）=sin（π-B）=sinB，∴sinB=sinAcosC+cosAsinC，
代入（*）式，得2sinAcosC+sinC-2（sinAcosC+cosAsinC）=0
化簡得sinC（1-2cosA）=0，
∵C為三角形的內(nèi)角，得sinC＞0，
∴1-2cosA=0，得cosA=

1

2

，結(jié)合A∈（0，π）得A=

π

3

；
（2）∵|

AC

|+|

AB

|=

3

|

BC

|，即b+c=

3

a，∴由正弦定理，得sinB+sinC=

3

sinA，
結(jié)合A=

π

3

得sinB+sinC=

3

sin

π

3

=

3

2

．
∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

2

cosC+

1

2

sinC，
∴sinB+sinC=

3

2

cosC+

1

2

sinC+sinC=

3

2

，即

3

2

sinC+

3

2

cosC=

3

2

，
即

3

2

sinC+

1

2

cosC=

3

2

，得sin（C+

π

6

）=

3

2

∵C∈（0，

2π

3

），得C+

π

3

∈（

π

6

，

5π

6

），∴C+

π

6

=

π

3

或

2π

3

，得C=

π

6

或

π

2

，
當(dāng)C=

π

6

時，B=π-A-C=

π

2

；當(dāng)C=

π

2

時，B=π-A-C=

π

6

．
因此，△ABC是直角三角形．

點評：本題給出向量含有三角形的邊角的坐標(biāo)式，在向量垂直的性質(zhì)下求角的大小，并依此判斷三角形的形狀．著重考查了向量的數(shù)量積公式及其運算性質(zhì)、正弦定理、三角恒等變換等知識，屬于中檔題．