已知數(shù)列{an}滿足．
（1）求數(shù)列（an）的通項(xiàng)公式；
（2）令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求證：當(dāng)n≥2時(shí)；
（4）證明：（5）．
【答案】分析：（1）將已知關(guān)系式兩邊同除以n（n+1）變形、整理、轉(zhuǎn)化成等差或等比數(shù)列問題解決．
（2）由（1）能知，但數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn無法進(jìn)一步化簡(jiǎn)，因此考慮利用bn，Sn的關(guān)系進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化求證．
（3）是與自然數(shù)有關(guān)的不等式命題，用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：解：（1）由已知得nan+1=3（n+1）an+4n+6，兩邊同除以n（n+1）得：，所以，
所以是首項(xiàng)為1，公比為q=3的等比數(shù)列．
所以．∴an=n•3n-1-2
（2）由（1）知．
當(dāng)n≥2時(shí)，．
兩邊平方得，，，
┅┅
相加得
又∴．
（3）（數(shù)學(xué)歸納法）
當(dāng)n=1，2時(shí)，顯然成立；
當(dāng)n≥2時(shí)，證明不等式．
假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)命題也成立，即
則當(dāng)n=k+1時(shí)所以當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立，
故原不等式成立．
點(diǎn)評(píng)：（1）以數(shù)列的遞推關(guān)系為載體，構(gòu)造等比數(shù)列，求出了數(shù)列（an）的通項(xiàng)公式．（2）利用bn，Sn的關(guān)系解決，避免了繁瑣的Sn的計(jì)算式表示（3）要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法在證明題中的運(yùn)用．三個(gè)問題跨度大，思維跳躍性強(qiáng)．是難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=1且an+1=
3+4an
12-4an
， n∈N*．
（1）若數(shù)列{bn}滿足：bn=
1
an-
1
2
(n∈N*)，試證明數(shù)列bn-1是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Sn；
（3）數(shù)列{an-bn}是否存在最大項(xiàng)，如果存在求出，若不存在說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足
1
2
a1+
1
22
a2+
1
23
a3+…+
1
2n
an=2n+1則{an}的通項(xiàng)公式
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：a1=
3
2
，且an=
3nan-1
2an-1+n-1
（n≥2，n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1•a2•…an＜2•n！

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足an+1=|an-1|（n∈N*）
（1）若a1=
54
，求an；
（2）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求{an}的前3k項(xiàng)的和S3k（用k，a表示）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•北京模擬）已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+2，且a1=1，那么它的通項(xiàng)公式an等于
2n-1
2n-1
．

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