Question

3．某中學為了解高中入學新生的身高情況，從高一年級學生中按分層抽樣共抽取了50名學生的身高數(shù)據(jù)，分組統(tǒng)計后得到了這50名學生身高的頻數(shù)分布表：

身高（cm）分組	[145，155）	[155，165）	[165，175）	[175，185]
男生頻數(shù)	1	5	12	4
女生頻數(shù)	7	15	4	2

（Ⅰ）在答題卡上作出這50名學生身高的頻率分布直方圖；
（Ⅱ）估計這50名學生身高的方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（Ⅲ）現(xiàn)從身高在[175，185]這6名學生中隨機抽取3名，求至少抽到1名女生的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布表能作出這50名學生身高的頻率分布直方圖．
（Ⅱ）由頻率分布直方圖能估計這50名學生的平均身高，并能估計這50名學生身高的方差．
（Ⅲ）記身高在[175，185]的4名男生為a，b，c，d，2名女生為A，B．利用列舉法能求出從這6名學生中隨機抽取3名學生，至少抽到1名女生的概率．

解答 解：（Ⅰ）這50名學生身高的頻率分布直方圖如下圖所示：

（Ⅱ）由題意可估計這50名學生的平均身高為$\overline x=\frac{150×8+160×20+170×16+180×6}{50}$=164．
所以估計這50名學生身高的方差為s²=$\frac{{8{{（{150-164}）}^2}+20{{（{160-164}）}^2}+16{{（{170-164}）}^2}+6{{（{180-164}）}^2}}}{50}$=80．
所以估計這50名學生身高的方差為80．
（Ⅲ）記身高在[175，185]的4名男生為a，b，c，d，2名女生為A，B．
從這6名學生中隨機抽取3名學生的情況有：
{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，A}，{a，b，B}，
{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，{b，c，A}，{b，c，B}，
{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，{a，A，B}，{b，A，B}，
{c，A，B}，{d，A，B}共20個基本事件．
其中至少抽到1名女生的情況有：
{a，b，A}，{a，b，B}，{a，c，A}，{a，c，B}，{a，d，A}，{a，d，B}，
{b，c，A}，{b，c，B}，{b，d，A}，{b，d，B}，{c，d，A}，{c，d，B}，
{a，A，B}，{b，A，B}，{c，A，B}，{d，A，B}共16個基本事件．
所以至少抽到1名女生的概率為$\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．