Question

如圖，CD為△ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E、F分別為弦AB與弦AC上的點，

且BCAE=DCAF,B、E、F、C四點共圓.

（Ⅰ）證明：CA是△ABC外接圓的直徑；

（Ⅱ）若DB=BE=EA,求過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值.                       

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）因為CD為△ABC外接圓的切線，

所以，由題設知，

故∽，所以，因為B、E、F、C四點共圓，所以，

故，所以，因此CA是△ABC外接圓的直徑.

（Ⅱ）設DB=BE=EA=，則由切割線定理可得：

，解得，由（1）知：CA是△ABC外接圓的直徑，所以，AC⊥CD，解得AC=，CE=，所以過B、E、F、C四點的圓的面積與△ABC外接圓面積的比值為=.

本題第（Ⅰ）問，由兩個三角形相似可得出角相等,再由四點共圓,得出,從而得證;第（Ⅱ）問,由切割線定理以及B、E、F、C四點共圓,可以得出兩圓的半徑,從而得出面積的比值.對第（Ⅰ）問，不容易找到這兩個三角形相似;第（Ⅱ）問中兩個圓半徑的求出容易出錯.

【考點定位】本小題主要考查圓的切線、割線、圓內(nèi)接四邊形、勾股定理等平面幾何知識，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查分析問題、解決問題的能力.