Question

已知E、F分別是棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱A₁A、CC₁的中點(diǎn)，求四棱錐C₁-B₁EDF的體積．

Answer 1

分析：連接A₁C₁、B₁D₁交于O₁，過O₁作O₁H⊥B₁D于H，說明C₁到平面B₁EDF的距離就是A₁C₁到平面B₁EDF的距離．求出底面B₁EDF的面積，求出高O₁H，即可求幾何體的體積．

解答：解：連接A₁C₁、B₁D₁交于O₁，過O₁作O₁H⊥B₁D于H，
∵EF∥A₁C₁，
∴A₁C₁∥平面B₁EDF．
∴C₁到平面B₁EDF的距離就是A₁C₁到平面B₁EDF的距離．
∵平面B₁D₁D⊥平面B₁EDF，
∴O₁H⊥平面B₁EDF，即O₁H為棱錐的高．
∵△B₁O₁H∽△B₁DD₁，
∴O₁H=

B1O1•DD1

B1D

=

6

6

a，
V_C1-B1EDF
=

1

3

S_B1EDF•O₁H
=

1

3

•

1

2

•EF•B₁D•O₁H
=

1

3

•

1

2

•

2

a•

3

a•

6

6

a
=

1

6

a³．

點(diǎn)評：本題考查棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查空間想象能力，計(jì)算能力；是中檔題．求體積常見方法有：①直接法（公式法）；②分割法；③補(bǔ)形法．