Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

1

2

，短軸的一個頂點與兩個焦點構成面積為

3

的三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點P（1，1）做兩條傾斜角分別為a₁，a₂的不同的直線l₁，l₂，分別交橢圓與A，B，C，D，且|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，求證：a₁+a₂=180°．

Answer 1

分析：（1）由題意得出關于參數(shù)a，b，c的方程組，解之得a，b，c的值，最后寫出橢圓的方程即可；
（2）設過點P（1，1）做兩條傾斜角分別為a₁，a₂的不同的直線l₁，l₂，的參數(shù)方程分別為：l₁：

x=1+tcosα 1 y=1=tsinα 1

；l₂：

x=1+tcosα 2 y=1=tsinα 2

．將直線l₁：的參數(shù)方程代入橢圓方程結合參數(shù)t的幾何意義得：|PA|•|PB|=-t₁t₂=-

1

cos 2a 1+4sin  2a 1

，同理得：|PC|•|PD|=-

1

cos 2a 2+4sin 2a 2

．最后利用|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，即可得到a₁+a₂=180°．

解答：解：（1）由題意得：

c a = 1 2 bc= 3 a2=b2+c 2

 解之得：

a=2 c=1 b= 3

∴橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）設過點P（1，1）做兩條傾斜角分別為a₁，a₂的不同的直線l₁，l₂，的參數(shù)方程分別為：
l₁：

x=1+tcosα 1 y=1=tsinα 1

；l₂：

x=1+tcosα 2 y=1=tsinα 2

．
將直線l₁：的參數(shù)方程代入橢圓方程得：
3（1+tcosa₁）²+4（1+tsina₁）²-12=0，
化簡整理得：（3cos²a₁+4sin²a₁）t²+（6cosa₁+8sina₁）t-5=0，
根據(jù)參數(shù)t的幾何意義得：|PA|•|PB|=-t₁t₂=-

5

3cos 2a 1+4sin 2a 1

，
同理得：|PC|•|PD|=-

5

3cos 2a 2+4sin 2a 2

．
由于|PA|•|PB|=|PC|•|PD|，故有：

5

3cos 2a 1+4sin 2a 1

=

5

3cos 2a 2+4sin 2a 2

，
∴cos²a₁=cos²a₂，sin²a₁=sin²a₂
∴a₁+a₂=180°．

點評：本小題主要考查橢圓的標準方程、直線的參數(shù)方程、直線與圓錐曲線的綜合問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想．