Question

已知函數(shù)f(x)=

ex

x2-ax+a

．
（Ⅰ）當0＜a＜4時，試判斷函數(shù)f（x）的單調性；
（Ⅱ）當a=0時，對于任意的x∈（1，t]，恒有tf（x）-xf（t）≥f（x）-f（t），求t的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因為f′(x)=

ex(x2-ax+a)-ex(2x-a)

(x2-ax+a)2

=

[x2-(a+2)x+2a]ex

(x2-ax+a2)2

=

(x-2)(x-a)ex

(x2-ax+a)2

，令f'（x）=0，得x=a或2，由此能判斷函數(shù)f（x）的單調性．
（Ⅱ）法一：依題意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），由x∈（1，t]，知

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，設g(x)=

f(x)

x-1

=

ex

x2(x-1)

，而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，由此能求出t的最大值．
法二：由

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，其幾何意義是動點P（x，f（x）），與定點A（1，0）連線的斜率，當x=t時，取到最小值，由此能求出t的最大值．

解答：解：（Ⅰ）因為f′(x)=

ex(x2-ax+a)-ex(2x-a)

(x2-ax+a)2

=

[x2-(a+2)x+2a]ex

(x2-ax+a2)2

=

(x-2)(x-a)ex

(x2-ax+a)2

，
令f'（x）=0，
∴x=a或2，
∴當0＜a＜2時，f（x）在（-∞，a）單調增，在（a，2）上單調減，在（2，+∞）上單調增；
當a=2時，f（x）在（-∞，+∞）單調增；
當2＜a＜4時，f（x）在（-∞，2）單調增，
在（2，a）上單調減，在（a，+∞）上單調增；
（Ⅱ）（方法一）依題意有（t-1）f（x）≥（x-1）f（t），
∵x∈（1，t]，∴

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，
設g(x)=

f(x)

x-1

=

ex

x2(x-1)

，
而g（x）≥g（t）在（1，t]上恒成立，
因為g′(x)=

exx2(x-1)-ex(3x2-2x)

x4(x-1)2

=

ex(x2-4x+2)

x3(x-1)2

，
令g'（x）=0，∴x=2±

2

故g(x)在(1，2+

2

)上單調減，在(2+

2

，+∞)上單調增，
∴t≤2+

2

，即t的最大值為2+

2

．
（方法二）由

f(x)

x-1

≥

f(t)

t-1

，其幾何意義是動點P（x，f（x）），
與定點A（1，0）連線的斜率．
當x=t時，取到最小值，
設t的最大值為t₁，則

f(t1)

t1-1

=f′(t1)，
即

et1

t12(t1-1)

=

et1(t1-2)

t13

，
∴t12-4t1+2=0，∴t1=2±

2

，
又t₁＞1，∴t1=2+

2

，
即t的最大值為2+

2

．

點評：本題考查函數(shù)的單調性的判斷與滿足條件的實數(shù)t的最大值的求法，綜合性強，難度較大，具有一定的探索性，對數(shù)學思維的要求較高，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質的合理運用．