Question

（2011•樂山一模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n（n+2），數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且有

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1，b1=3．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項a_n，b_n；
（2）設(shè)cn=

an

bn

，試判斷數(shù)列{c_n}的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論．
（3）在（2）的前提下，設(shè)M_n是數(shù)列{c_n}的前n項和，證明：Mn≥4-

n+2

2n-1

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可求數(shù)列{a_n}的通項a_n，根據(jù)

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1，可得b_n+1=2b_n-1，從而{b_n-1}是公比為2的等比數(shù)列，故可求數(shù)列{b_n}的通項b_n；
（2）cn=

an

bn

=

2n+1

2n+1

，數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列，再用作差法證明即可；
（3）根據(jù)cn=

an

bn

=

2n+1

2n+1

≥

2n

2n

=

n

2n-1

，可得M_n=c₁+c₂+…+c_n≥1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，利用錯位相消法，求出右邊的和，即可證得結(jié)論．

解答：（1）解：∵S_n=n（n+2），
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n+1
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3滿足上式
∴a_n=2n+1
∵

Tn+1-bn+1

Tn+bn

=1
∴T_n+1-T_n=2b_n-1
∴b_n+1=2b_n-1
∴b_n+1-1=2（b_n-1）
∴{b_n-1}是公比為2的等比數(shù)列
∴bn-1=(b1-1)•2n-1=2n
∴bn =2n+1
（2）解：cn=

an

bn

=

2n+1

2n+1

，數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列
證明：∵cn+1-cn=

2n+3

2n+1+1

-

2n+1

2n+1

=

(1-2n)•2n+2

(2n+1+1)(2n+1)

＜0
∴數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列
（3）證明：∵cn=

an

bn

=

2n+1

2n+1

≥

2n

2n

=

n

2n-1

∴M_n=c₁+c₂+…+c_n≥1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

令rn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

①
∴

1

2

rn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

②
①-②：

1

2

rn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

∴rn=4-

n+2

2n-1

∴1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

=4-

n+2

2n-1

∴Mn≥4-

n+2

2n-1

點評：本題以數(shù)列的和為載體，考查數(shù)列的通項，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查不等式的證明，同時考查錯位相減法求數(shù)列的和，綜合性強．