Question

已知函數(shù)f（x）=x-1-alnx．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若a＜0，且對任意x₁，x₂∈（0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4|

1

x1

-

1

x2

|，求a的范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,絕對值不等式的解法

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）把a=2代入原函數(shù)解析式中，求出函數(shù)在x=1時的導數(shù)值，直接利用直線方程的點斜式寫直線方程；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導函數(shù)，由導函數(shù)可知，當a≤0時，f′（x）＞0，函數(shù)在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，當a＞0時，求出導函數(shù)的零點，可得函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，當a＜0時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，且y=

1

x

在（0，1]上遞減．設h(x)=f(x)+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，則|f(x1)-f(x2)|≤4|

1

x1

-

1

x2

|等價于h（x）在（0，1]上是減函數(shù)．

解答： 解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x-1-2lnx，f′（x）=1-

2

x

（x＞0），
因而f（1）=0，f′（1）=-1，
所以曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線方程為y-0=-（x-1），
即x+y-1=0
（Ⅱ）f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，(x＞0)
①當a≤0時，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
②當a＞0時，0＜x＜a時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當x＞a時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，當a＜0時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，且y=

1

x

在（0，1]上遞減．
不妨設0＜x₁≤x₂≤1，則|f(x1)-f(x2)|≤4|

1

x1

-

1

x2

|?f(x2)-f(x1)≤

4

x1

-

4

x2

?f(x2)+

4

x2

≤f(x1)+

4

x1

設h(x)=f(x)+

4

x

=x-1-alnx+

4

x

，
則|f(x1)-f(x2)|≤4|

1

x1

-

1

x2

|等價于h（x）在（0，1]上是減函數(shù)．
又h′(x)=1-

a

x

-

4

x2

=

x2-ax-4

x

，
所以等價于x²-ax-4≤0在（0，1]上恒成立
即a≥x-

4

x

在（0，1]上恒成立，
注意到x-

4

x

在（0，1]上遞增，所以只需a≥(x-

4

x

)max=-3
又a＜0，從而-3≤a＜0

點評：本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，考查了分類討論得數(shù)學思想，屬中檔題．