已知拋物線y2=2px(p>0).過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B,|AB|≤2p.
(1)求a的取值范圍;
(2)若線段AB的垂直平分線交x軸于點N,求△NAB面積的最大值.
【答案】
分析:(1)設出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立消去y,設直線l與拋物線兩個不同的交點坐標為A,B,進而根據(jù)判別是對大于0,及x
1+x
2的和x
1x
2的表達式,求得AB的長度的表達式,根據(jù)|AB|的范圍確定a的范圍
(2)設AB的垂直平分線交AB于點Q,令坐標為(x
3,y
3),則由中點坐標公式求得x
3的坐標,進而求得QM的長度.根據(jù)△MNQ為等腰直角三角形,求得QN的長度,進而表示出△NAB的面積,根據(jù)|AB|范圍確定三角形面積的最大值.
解答:解:(1)直線l的方程為y=x-a
將y=x-a代入y
2=2px,
得x
2-2(a+p)x+a
2=0.
設直線l與拋物線兩個不同的交點坐標為A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2),
則
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又y
1=x
1-a,y
2=x
2-a,
∴
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=
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=
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∵0<|AB|≤2p,8p(p+2a)>0,
∴
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.
解得
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.
(2)設AB的垂直平分線交AB于點Q,令坐標為(x
3,y
3),則由中點坐標公式,得
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,
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.
∴|QM|
2=(a+p-a)
2+(p-0)
2=2p
2,
又△MNQ為等腰直角三角形,
∴|QN|=|QM|=
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∴
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=
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=
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,
即△NAB面積最大值為
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.
點評:本小題考查直線與拋物線的基本概念及位置關系,考查運用解析幾何的方法解決數(shù)學問題的能力.