Question

已知函數(shù)f（x）滿足．
（1）當(dāng)x∈N₊時(shí)，求f（n）的表達(dá)式；
（2）設(shè)，求證：a₁+a₂+…+a_n＜2；
（3）設(shè)，求S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)得：．則由等比數(shù)列的定義知，數(shù)列{f（n）}是以 為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
（2）設(shè)T_n=a₁+a₂+…+a_n其通項(xiàng)公式是 是一個(gè)等差數(shù)列和等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)積的形式，則由錯(cuò)位相減法求得前n項(xiàng)和，再用放縮法證明不等式．
（3）由=，能求出S_n．
解答：解：（1）由題設(shè)得：．
∴數(shù)列{f（n）}是以 為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
．（4分）

（2）設(shè)T_n=a₁+a₂+…+a_n
∵（n∈N^*）．
∴
=
兩式相減得：
=．
∴．（10分）
（3）∵=，
∴
=
=．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查抽象函數(shù)求解析式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為數(shù)列研究數(shù)列的通項(xiàng)及用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和．