【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),設(shè)
,若存在
,
,使
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.(
為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),
)
【答案】(I)當(dāng)時(shí),
的減區(qū)間為
,增區(qū)間
,當(dāng)
時(shí),
的減區(qū)間為
;當(dāng)
時(shí),
的減區(qū)間為
,
,增區(qū)間為
;(II)
.
【解析】
試題分析:(I)先求出函數(shù)的定義域和,然后解關(guān)于
的不等式
,即可分類討論得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(II)由(I)可得
時(shí)函數(shù)
在
上單調(diào)遞減,把存在
,
,使
,轉(zhuǎn)化為
上
的最大值大于
的最小值,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為
在
的上的最大值、最小值.
試題解析:(Ⅰ),
.…………………1分
令
①時(shí),
,
的減區(qū)間為
,增區(qū)間為
.…………2分
②當(dāng)時(shí),
所以當(dāng)時(shí),
,
,
在區(qū)間
上單調(diào)遞減.……………………4分
當(dāng)時(shí),
,
,
,
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞減,
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),
,
單調(diào)遞減,………………7分
所以當(dāng)時(shí),
的減區(qū)間為
,增區(qū)間
.
當(dāng)時(shí),
的減區(qū)間為
.
當(dāng)時(shí),
的減區(qū)間為
,
增區(qū)間為.…………8分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知在
上的最大值為
,………………10分
,令
,得
.
時(shí),
,
單調(diào)遞減,
,
,
單調(diào)遞增,………………12分
所以在
上的最小值為
,……………13分
由題意可知,解得
…………14分
所以
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在原點(diǎn)
,焦點(diǎn)在
軸上,離心率為
,右焦點(diǎn)到右頂點(diǎn)的距離為
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)是否存在與橢圓交于
兩點(diǎn)的直線
,使得
成立?若存在,求出實(shí)數(shù)
的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30女20),給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表:(單位:人)
幾何題 | 代數(shù)題 | 總計(jì) | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計(jì) | 30 | 20 | 50 |
(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺(jué)和空間能力與性別有關(guān)?
(2)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究,記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
附表及公式:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若對(duì),不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(2)記,那么當(dāng)
時(shí),是否存在區(qū)間
使得函數(shù)在區(qū)間
上的值域恰好為
?若存在,請(qǐng)求出區(qū)間
;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線與橢圓
相交于
兩點(diǎn).
(1)若橢圓的離心率為,焦距為
,求線段
的長(zhǎng);
(2)若向量與向量
互相垂直(其中
為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)橢圓的離心率
時(shí),求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知直線與橢圓
交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)k使得以線段AB 為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為
,橢圓上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)
的距離的最大值為
.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知點(diǎn)是線段
上異于
的一個(gè)定點(diǎn)(
為坐標(biāo)原點(diǎn)),是否存在過(guò)點(diǎn)
且與
軸不垂直的直線
與橢圓交于
兩點(diǎn),使得
,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)E為正方形ABCD邊CD上異于點(diǎn)C,D的動(dòng)點(diǎn),將△ADE沿AE翻折成△SAE,使得平面SAE⊥平面ABCE,則下列三個(gè)說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是( )
①存在點(diǎn)E使得直線SA⊥平面SBC
②平面SBC內(nèi)存在直線與SA平行
③平面ABCE內(nèi)存在直線與平面SAE平行
A.0 B.1 C.2 D.3
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