如圖①，E、F分別是直角三角形ABC邊AB和AC的中點(diǎn)，∠B＝90°，沿EF將三角形ABC折成如圖②所示的銳二面角A1EFB，若M為線段A1C中點(diǎn)．求證：

(1)直線FM∥平面A1EB；

(2)平面A1FC⊥平面A1BC.

 

（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析

【解析】證明：(1)取A1B中點(diǎn)N，連結(jié)NE、NM，

則MN∥=BC，EF∥=BC，所以MN∥=FE，

所以四邊形MNEF為平行四邊形，所以FM∥EN，

因?yàn)?/span>FM平面A1EB，EN平面A1EB，

所以直線FM∥平面A1EB.

(2)因?yàn)?/span>E、F分別為AB和AC的中點(diǎn)，

所以A1F＝FC，所以FM⊥A1C.

同理，EN⊥A1B.

由(1)知，FM∥EN，所以FM⊥A1B.

因?yàn)?/span>A1C∩A1B＝A1，所以FM⊥平面A1BC.

因?yàn)?/span>FM平面A1FC，

所以平面A1FC⊥平面A1BC.

 

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某商場(chǎng)若將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元出售，每天可銷(xiāo)售100件，現(xiàn)準(zhǔn)備采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法來(lái)增加利潤(rùn)，已知這種商品每件銷(xiāo)售價(jià)提高1元，銷(xiāo)售量就要減少10件，問(wèn)該商場(chǎng)將銷(xiāo)售價(jià)每件定為多少元時(shí)，才能使得每天所賺的利潤(rùn)最多？銷(xiāo)售價(jià)每件定為多少元時(shí)，才能保證每天所賺的利潤(rùn)在300元以上？

 

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一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切，已知這個(gè)球的體積是π，那么這個(gè)三棱柱的體積是________．

 

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若等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體體積是__________.

 

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如圖①，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠ABC＝60°，E是BC的中點(diǎn)．如圖②，將△ABE沿AE折起，使二面角BAEC成直二面角，連結(jié)BC、BD，F是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn)．求證：

圖①圖②

(1)AE⊥BD；

(2)平面PEF⊥平面AECD.

 

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如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，過(guò)A作AF⊥SB，垂足為F，點(diǎn)E、G分別是棱SA、

SC的中點(diǎn)．求證：

(1)平面EFG∥平面ABC；

(2)BC⊥SA.

 

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如圖PA⊥圓O所在平面，AB是圓O的直徑，C是圓O上一點(diǎn)，AE⊥PC，AF⊥PB，給出下列結(jié)論：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命題的是________．(填序號(hào))

 

 

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若直線l與平面α不垂直，則在平面α內(nèi)與直線l垂直的直線有________條．

 

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若等差數(shù)列的前6項(xiàng)和為23，前9項(xiàng)和為57，則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝________．

 

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