Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=a（a為常數(shù)，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），設(shè)b_n=（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{b_n}所滿足的遞推公式；
（2）求常數(shù)c、q使得b_n+1-c=q（b_n-c）對(duì)一切n∈N^*恒成立；
（3）求數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式，并討論：是否存在常數(shù)a，使得數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列？若存在，求出所有這樣的常數(shù)a；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）∵a₁=a（a為常數(shù)，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），
∴，又，∴．
數(shù)列b_n的遞推公式是．
（2）∵b_n+1-c=q（b_n-c）（n∈N^*）
∴b_n+1=qb_n+c-qc
又由（1）可知，
∴，
∴
（3）由（2）知，數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列．
∴
∴為所求的通項(xiàng)公式．
考察數(shù)列a_n，∵
1^O．當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)數(shù)列a_n是遞增數(shù)列．
2^O．當(dāng)時(shí)，
是正負(fù)相間出現(xiàn)，其絕對(duì)值是正常數(shù)，
而．
故當(dāng)n充分大時(shí)，的值的符號(hào)
與的值的符號(hào)相同，即數(shù)列的項(xiàng)的值是正負(fù)相間出現(xiàn)的，
故數(shù)列a_n不可能是單調(diào)數(shù)列．
綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，數(shù)列a_n是遞增數(shù)列．
分析：（1）由題意知，又，∴．由此可知數(shù)列b_n的遞推公式．
（2）由題意知b_n+1=qb_n+c-qc，又由（1）可知，，由此可知
（3）由（2）知，數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列，由此可知為所求的通項(xiàng)公式．由此可求出所有這樣的常數(shù)a．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．