Question

定義域均為R的奇函數f （x）與偶函數g （x）滿足f （x）+g （x）=10^x．
（1）求函數f（x）與g（x）的解析式；
（2）證明：g（x₁）+g（x₂）≥2g（）；
（3）試用f（x₁），f（x₂），g（x₁），g（x₂）表示f（x₁-x₂）與g（x₁+x₂）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得：f（x）+g（x）=10^x，再根據函數的奇偶性可得：f（-x）+g（-x）=10^-x=-f（x）+g（x），進而結合兩個式子求出兩個函數的解析式．
（2）（法一）由（1）可得g（x₁）+g（x₂）的表達式，再利用基本不等式把g（x₁）+g（x₂）進行化簡整理即可得到答案．
（法二））要證明原不等式成立，只要證g（x₁）+g（x₂）-2g（）≥0即可
（3）由（1）可得f（x₁）、f（x₂）、g（x₁）、g（x₂）、f（x₁-x₂）與g（x₁+x₂）的表達式與結構特征，進而可求
解答：解：（1）∵f（x）+g（x）=10^x ①
∴f（-x）+g（-x）=10^-x，
∵f（x）為奇函數，g（x）為偶函數
∴f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x）
∴-f（x）+g（x）=10^-x ②
由①，②解得f（x）=（10^x-），g（x）=（10^x+）．
（2）解法一：
=
==
（法二）∵g（x₁）+g（x₂）-2g（）=-（）
=
=≥=0
∴g（x₁）+g（x₂）≥2g（）
（3））∵f（x）=（10^x-），g（x）=（10^x+）．
∴f（x₁-x₂）=
=
=
=
=f（x₁）g（x₂）-g（x₁）f（x₂）
同理可得，g（x₁+x₂）==g（x₁）g（x₂）-f（x₁）f（x₂）．
點評：本題主要考查函數的性質：函數的解析式，奇偶性，單調性等性質，函數與指對式的化簡變形結合起來，此題綜合性較強，屬于難題，考查學生綜合應用知識的能力．