Question

已知函數(shù)f(x)=log_a(a^x-1)(a＞0,a≠1),

(1)證明函數(shù)f(x)的圖象在y軸的一側(cè);

(2)設(shè)A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)(x₁＜x₂)是圖象上兩點(diǎn),證明直線AB的斜率大于0;

(3)求函數(shù)y=f(2x)與y=f^-1(x)的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo).

Answer 1

(1)證明：由a^x-1＞0,得a^x＞1.

    當(dāng)a＞1時(shí),x＞0,此時(shí)f(x)的圖象在y軸右側(cè);

    當(dāng)0＜a＜1時(shí),x＜0,此時(shí)f(x)的圖象在y軸左側(cè).

    故函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側(cè).

(2)證明：當(dāng)a＞1時(shí),y=a^x是增函數(shù),設(shè)0＜x₁＜x₂,則1＜＜,于是0＜ -1＜-1.

    故log_a(-1)＜log_a(-1),即y₁＜y₂;

    當(dāng)0＜a＜1時(shí),y=a^x是減函數(shù),設(shè)x₁＜x₂＜0,則＞＞1,于是-1＞-1＞0.

    故log_a(-1)＜log_a(-1),即y₁＜y₂.

∴不論a＞1或0＜a＜1,當(dāng)x₁＜x₂時(shí),總有y₁＜y₂,∴直線AB的斜率＞0.

(3)解：∵f(x)=log_a(a^x-1),

∴f^-1(x)=log_a(a^x+1),

f(2x)=log_a(a^2x-1).

∴a^x+1=a^2x-1,即(a^x)²-a^x-2=0.

∴a^x=2.∴x=log_a2,f^-1(x)=log_a3.

∴交點(diǎn)坐標(biāo)為(log_a2,log_a3).