Question

已知一條曲線在x軸的上方，它上面的每一點(diǎn)到點(diǎn)A（0，2）的距離減去它到x軸的距離的差都是2，求這條曲線的方程．

Answer 1

分析：先設(shè)點(diǎn)M（x，y）是曲線上任意一點(diǎn)，欲求這條曲線的方程，只須求出x，y之間的關(guān)系即可，利用點(diǎn)M屬于集合P={M||MA|-|MB|=2}．將此條件用坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)即得曲線的方程．

解答：解：設(shè)點(diǎn)M（x，y）是曲線上任意一點(diǎn)，MB⊥x軸，垂足是B，那么點(diǎn)M屬于集合P={M||MA|-|MB|=2}．
由距離公式，點(diǎn)M適合的條件可表示為：

x2+(y-2)2

-y=2①
將①式移項(xiàng)后再兩邊平方，得x²+（y-2）²=（y+2）²，
化簡(jiǎn)得：y=

1

8

x2
因?yàn)榍�線在x軸的上方，所以y＞0，雖然原點(diǎn)O的坐標(biāo)（0，0）是這個(gè)方程的解，但不屬于已知曲線，所以曲線的方程是y=

1

8

x2（x≠0），它的圖形是關(guān)于y軸對(duì)稱的拋物線，但不包括拋物線的頂點(diǎn)，如圖所示．

點(diǎn)評(píng)：求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一，求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系，本題利用直接法求解，直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．