Question

【題目】已知f（x）=a（x-lnx）+，a∈R.

（I）討論f（x）的單調(diào)性；

（II）當(dāng)a=1時(shí)，證明f（x）＞f’（x）+對(duì)于任意的x∈[1,2] 恒成立。

Answer 1

【答案】（I）見(jiàn)解析；（II）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對(duì)a分類(lèi)分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅱ）令g（x）=x-lnx，h（x）=-1則f（x）-f′（x）=g（x）+h（x），利用導(dǎo)數(shù)分別求g（x）與h（x）的最小值得到f（x）-f’（x）＞g（1）+h（2）=.

試題解析：

（I）解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+00），f’（x）=a-

F’（x）=

若a≤0時(shí)，x∈（0,1）時(shí)，f’（x）＞0，則f（x）單調(diào)遞增

x∈（1，+00）時(shí)，f’（x）＜0，則f（x）單調(diào)遞減。

當(dāng)a＞0時(shí)，f’（x）=（）（x-）

若0＜a＜2時(shí)，＞1，

當(dāng)x∈（0,1）或x∈（，+00）時(shí)，f’（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增

當(dāng)x∈（1，）時(shí)，f’（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減。

若a=2時(shí)，=1，早x∈（0，+00）內(nèi)，f’（x）≥0，f（x）單調(diào)遞增；

若a＞2時(shí)，0＜＜1，

當(dāng)x∈（0，）或x∈（1，+00）時(shí)，f’（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增

當(dāng)x∈（，1）時(shí)，f‘（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減。

綜上所述；當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0,1）單調(diào)遞增，f（x）在(1,+00)單調(diào)遞減。

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在（0,1）上單調(diào)遞增；f（x）在（1，）單調(diào)遞減

當(dāng)a=2時(shí)，f（x）在（0，+00）單調(diào)遞增；

若a＞2時(shí)，f（x）在（0，），（1，+00）單調(diào)遞增；

f（x）在（，1）單調(diào)遞減

（II）由（I）知，a=1時(shí)，f（x）-f’（x）=x-lnx+-（1-）

=x-lnx+-1，x∈[1,2]

令g（x）=x-lnx，h（x）=-1，x∈[1,2]，則f（x）-f’(x)=g（x）+h（x），

由g’（x）=≥0，可得g（x）≥g（1）=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得等號(hào)，

又h’（x）=，設(shè)（x）=-3x2-2x+6，則（x）在x∈[1,2]單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>（1）=1，（2）=-10，所以在[1,2]上存在x0，

使得x∈（1，x0）時(shí)，（x）＞0，x∈（x0，2）時(shí)，（x）＜0.

所以h（x）在（1，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，2）上單調(diào)遞減；

由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取得等號(hào)

所以f（x）-f’（x）＞g（1）+h（2）=，

即f（x）＞f’（x）+對(duì)于任意的x∈[1,2]恒成立。