Question

8．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=1，曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)）．
（1）求曲線C₁上的點(diǎn)到曲線C₂的距離的最小值；
（2）把曲線C₁上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)擴(kuò)大原來(lái)的$\sqrt{3}$倍，得到曲線C₁′，設(shè)P（-1，1），曲線C₂與C₁′交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的極坐標(biāo)方程求出函數(shù)的普通方程即可，根據(jù)參數(shù)方程消去參數(shù)求出C₂的普通方程即可，求出點(diǎn)到直線的距離即可；
（2）求出${{C}_{1}}^{′}$的方程，聯(lián)立方程組，求出|PA|+|PB|的值即可．

解答 解：（1）曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=1，
故C₁為：x²+y²=1，圓心是（0，0）半徑是1，
曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}$（t為參數(shù)），
故C₂：y=x+2，
圓心到直線的距離d=$\frac{|2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
故C₁上的點(diǎn)到C₂的最小距離是$\sqrt{2}$-1；
（2）伸縮變換為$\left\{\begin{array}{l}{x′=2x}\\{y′=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
故${{C}_{1}}^{′}$：$\frac{{{x}^{′}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}^{′}}^{2}}{3}$=1，
將C₂和${{C}_{1}}^{′}$聯(lián)立，得7t²+2$\sqrt{2}$t-10=0，
∵t₁t₂＜0，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\frac{12\sqrt{2}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程以及普通方程的值，考查點(diǎn)到直線的距離公式以及坐標(biāo)的伸縮變換，是一道中檔題．