已知，曲線上任意一點(diǎn)分別與點(diǎn)、連線的斜率的乘積為．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，若曲線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，求證：．

 

【答案】

（Ⅰ），．

（Ⅱ）由得，利用曲線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，，得到，利用，，及均值定理確定

，

從而證得．    

【解析】

試題分析：（Ⅰ）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為．利用依題意點(diǎn)分別與點(diǎn)、連線的斜率的乘積為，轉(zhuǎn)化成代數(shù)式，整理可得．

（Ⅱ）由得，利用曲線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，，得到，利用，，及均值定理確定

，

從而證得．    

試題解析：（Ⅰ）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為．

依題意，且，      ３分

整理得．所以，曲線的方程為：，．   5分

（Ⅱ）由得，

，                  7分

由已知條件可知，，所以

，

從而，　　　即．                           13分

考點(diǎn)：1、求軌跡方程，2、直線與橢圓的位置關(guān)系，3、均值定理的應(yīng)用.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012屆廣西桂林十八中高二下學(xué)期期中考試試卷數(shù)學(xué)（理科） 題型：解答題

已知過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作直線的垂線，垂足為,且.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)是曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且

 為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本小題滿分14分）已知圓錐曲線上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之和為常數(shù)，曲線的離心率．

⑴求圓錐曲線的方程；

⑵設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任意一條直線與圓錐曲線相交于、，試證明在軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使的值是常數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本題滿分12分）已知過(guò)曲線上任意一點(diǎn)作直線的垂線，垂足為,且.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)是曲線上兩個(gè)不同點(diǎn)，直線和的傾斜角分別為和，當(dāng)變化且

 為定值時(shí)，證明直線恒過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本小題滿分14分）已知圓錐曲線上任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)、的距離之和為常數(shù)，曲線的離心率．

⑴求圓錐曲線的方程；

⑵設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的任意一條直線與圓錐曲線相交于、，試證明在軸上存在一個(gè)定點(diǎn)，使的值是常數(shù)

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