Question

18．已知函數(shù)f（x）=|x+e^t|+|x-e^-t|（t∈R）．
（1）當(dāng)x、t都是變量時，求f（x）的最小值；
（2）若f（1）＜4，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)絕對值三角不等式得，|x+e^t|+|x-e^-t|≥e^t+e^-t，再由基本不等式最最值；
（2）先換元，再采用“零點分段法”解絕對值不等式，最后求出t的取值范圍．

解答 解：（1）由絕對值三角不等式得，
|x+e^t|+|x-e^-t|≥|e^t-（-e^-t）|=e^t+e^-t，
再根據(jù)基本不等式得，
e^t+e^-t≥2$\sqrt{{e}^{t}•{e}^{-t}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)t=0時，取“=”，
所以，函數(shù)f（x）的最小值為2；
（2）因為f（1）＜4，所以|1+e^t|+|1-e^-t|＜4，
設(shè)，m=e^t，則e^-t=$\frac{1}{m}$，且m＞0，
原不等式可化為：|m+1|+|$\frac{1}{m}$-1|＜4，
①當(dāng)m≥1時，m+1+1-$\frac{1}{m}$＜4，即m-$\frac{1}{m}$-2＜0，
解得，1≤m＜1+$\sqrt{2}$；
②當(dāng)0＜m＜1時，m+1+$\frac{1}{m}$-1＜4，即m+$\frac{1}{m}$-4＜0，
解得，2-$\sqrt{3}$＜m＜1，
綜合以上討論得，m∈（2-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{2}$），
所以，t∈（ln（2-$\sqrt{3}$），ln（1+$\sqrt{2}$）），
故實數(shù)t的取值范圍為：（ln（2-$\sqrt{3}$），ln（1+$\sqrt{2}$））．

點評 本題主要考查了絕對值不等式的解法和絕對值三角不等式的應(yīng)用，涉及基本不等式求最值，換元法和分類討論思想，屬于中檔題．