Question

觀察下列各不等式：

…

（1）由上述不等式，歸納出一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的一般性結(jié)論；

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你得到的結(jié)論．

 

Answer 1

（1）且；（2）以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)不等式．

①當(dāng)n=2時(shí)，由題設(shè)可知，不等式顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有

.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

根據(jù)①和②，可知不等式對(duì)任何且都成立.

【解析】

試題分析：（1）由上述不等式，歸納出表達(dá)式的左側(cè)的關(guān)系與右側(cè)分子與分母的特征寫出一個(gè)正整數(shù)，有關(guān)的一般性結(jié)論；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟，直接證明即可.

試題解析：（1）觀察上述各不等式，得到與正整數(shù)n有關(guān)的一般不等式為

且.

（2）以下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)不等式．

①當(dāng)n=2時(shí)，由題設(shè)可知，不等式顯然成立.

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，不等式成立，即

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有

.

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立.

根據(jù)①和②，可知不等式對(duì)任何且都成立.

考點(diǎn)：歸納推理；數(shù)學(xué)歸納法.