Question

附加題（必做題）
在0，1，2，3，…，9這十個自然數(shù)中，任取3個不同的數(shù)字．
（1）求組成的三位數(shù)中是3的倍數(shù)的有多少個？
（2）將取出的三個數(shù)字按從小到大的順序排列，設ξ為三個數(shù)字中相鄰自然數(shù)的組數(shù)（例如：若取出的三個數(shù)字為0，1，2，則相鄰的組為0，1和1，2，此時ξ的值是2），求隨機變量ξ的分布列及其數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）要想組成的三位數(shù)能被3整除，把0，1，2，3，…，9這十個自然數(shù)中分為三組：0，3，6，9；1，4，7；2，5，8．求出每組中各取一個數(shù)，含0，與每組中各取一個數(shù)不含0以及從每組中各取三個數(shù)的所求可能，相加即可；、（2）隨機變量ξ的取值為0，1，2，然后根據(jù)等可能事件的概率公式求出相應的概率，得到ξ的分布列，最后利用數(shù)學期望公式解之即可．

解答：解：（1）要想組成的三位數(shù)能被3整除，把0，1，2，3，…，9
這十個自然數(shù)中分為三組：0，3，6，9；1，4，7；2，5，8．
若每組中各取一個數(shù)，含0，共有C₃¹C₃¹C₂¹A₂²=36種；
若每組中各取一個數(shù)不含0，共有C₃¹C₃¹C₃¹A₃³=162種；
若從每組中各取三個數(shù)，共有3A₃³+C₃²A₂²A₂²=30種．
所以組成的三位數(shù)能被3整除，共有36+162+30=228種．…（6分）
（2）隨機變量ξ的取值為0，1，2，
P（ξ=2）=

8

C 3 10

=

1

15

P（ξ=1）=

2(7+6+5+4+3+2+1)

C 3 10

=

7

15

P（ξ=0）=1-P（ξ=1）-P（ξ=2）=1-

1

15

-

7

15

=

7

15

ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	7 15	7 15	1 15

所以ξ的數(shù)學期望為Eξ=0×

7

15

+1×

7

15

+2×

1

15

=

3

5

．…（10分）

點評：本題主要考查了等可能事件的概率，以及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，同時考查了分類討論的數(shù)學思想和計算能力，屬于中檔題．