Question

選修4-5；不等式選講
已知不等式|x+1|+|x-2|≥m的解集是R．
（I）求實數m的取值范圍：
（II）在（1）的條件下，當實數m取得最大值時，試判斷是否成立？并證明你的結論．

Answer 1

解：（I）由絕對值不等式性質知：
|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3對x∈R恒成立
故不等式|x+1|+|x-2|≥m的解集是R，只須m≤3即可
∴m的取值范圍是（-∞，3]…（4分）
（II）由（I）知實數m的最大值為3
當m=3時，不等式即
這是一個正確的不等式，證明如下：
∵2＞2
∴6+2+7≥3+2+10，即（）²＞（）²
兩邊開方得，故原不等式成立． …（10分）
分析：（I）由絕對值不等式的性質：|a±b|≤|a|+|b|，可得已知不等式左邊的最小值為3，由此結合題意可得m的取值范圍是（-∞，3]．
（II）在（I）條件下，即證明成立，注意到不等式兩邊都是正數，所以證明不等式左邊的平方大于右邊的平方，再開方即可得到不等式成立．
點評：本題以含有絕對值的不等式恒成立為載體，求參數的最大值，并在此情況下證明含有根式的不等式正確，著重考查了絕對值不等式的性質和不等式證明的常用方法等知識，屬于基礎題．