Question

過點(diǎn)（0，3）的直線l，與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1只有一個公共點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線方程聯(lián)立消元后，根據(jù)3-4k²=0，或3-4k²≠0且△=0求得k，可得直線方程．

解答： 解：設(shè)過點(diǎn)（0，3）的直線l，與雙曲線

x2

4

-

y2

3

=1只有一個公共點(diǎn)的直線為y=kx+3．
代入雙曲線方程，消去y整理得（3-4k²）x²-24kx-48=0，
當(dāng)3-4k²≠0時，△=（24k）²+4×48（3-4k²）=0，
解得k=±

3

；
當(dāng)3-4k²=0時，k=±

3

2

，與漸近線平行也成立．
故過點(diǎn)（0，1）與雙曲線x²-y²=1有且只有一個公共點(diǎn)的直線有4條．
且方程為y=±

3

x+3或y=±

3

2

x+3．

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題，突出考查了分類討論的應(yīng)用，考慮雙曲線的問題，不要忽視漸近線，屬中檔題和易錯題．