Question

16．設(shè)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+S_n-1=ta_n²+2（n≥2，t＞0），a₁=1．求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 仿寫另一個(gè)等式，兩個(gè)式子相減得到數(shù)列的項(xiàng)的遞推關(guān)系，利用等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得

解答 解：（1）S_n+S_n-1=ta_n²+2  （n≥2，t＞0）（1）
S_n-1+S_n-2=ta_n-1²+2（n≥3）（2）
（1）-（2）得a_n+a_n-1=t（a_n²-a_n-1²），（n≥3），
∵數(shù)列{a_n}為正項(xiàng)數(shù)列，∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{t}$，（n≥3），
即數(shù)列{a_n}從第二項(xiàng)開始是公差為$\frac{1}{t}$的等差數(shù)列．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{n-1}{t}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題，在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．