Question

（2008•上海模擬）已知向量

a

=（-cosx，sinx），

b

=（cosx，

3

cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
求：（1）函數(shù)f（x）的最小正周期
（2）函數(shù)f（x）在x∈[0，

π

2

]上的最大值與最小值，并指出何時(shí)取得？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)向量數(shù)理積的坐標(biāo)公式，得

a

•

b

=-cos²x+

3

sinxcosx，再用三角函數(shù)的降冪公式，化簡(jiǎn)合并為
f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

，即可利用三角函數(shù)的有關(guān)結(jié)論，求出函數(shù)f（x）的最小正周期．
（2）在x∈[0，

π

2

]時(shí)，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，將函數(shù)的相位2x-

π

6

當(dāng)作一個(gè)整體，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，
可得出函數(shù)在∈[0，

π

2

]上的最大值與最小值，進(jìn)而可得相應(yīng)的自變量的值．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=-cos²x+

3

sinxcosx …2分）
=sin（2x-

π

6

）-

1

2

…（4分）
T=π…（6分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

…（8分）
當(dāng)x=

π

3

時(shí)，f（x）_max=1-

1

2

=

1

2

…（10分）
當(dāng)x=0時(shí)，f（x）_min=-1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以平面向量為載體，考查了三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與值域等問(wèn)題，屬于中檔題．