Question

1．已知直線l：xcosθ+ysinθ=cosθ與y²=4x交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，則$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=1．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線方程可求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，設(shè)過(guò)F的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理后，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁x₂的值，又根據(jù)拋物線定義可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1代入$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=答案可得．

解答 解：易知F坐標(biāo)（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1．直線l：xcosθ+ysinθ=cosθ過(guò)（1，0）．
可設(shè)過(guò)F點(diǎn)直線方程為y=k（x-1）
代入拋物線方程，得 k²（x-1）²=4x．
化簡(jiǎn)后為：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有x₁x₂=1，
根據(jù)拋物線性質(zhì)可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
∴$\frac{1}{|AF|}$+$\frac{1}{|BF|}$=$\frac{{x}_{1}+1+{x}_{2}+1}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{1}{x}_{2}+1}$=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查拋物線的應(yīng)用和拋物線定義．對(duì)于過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線關(guān)系，常用拋物線的定義來(lái)解決．