Question

當(dāng)曲線y=-1+

4-x2

與直線kx-y+2k+3=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線的傾斜角的取值范圍是

 

（tanθ=

3

4

，θ≈37°）

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：曲線表示一個(gè)半圓，直線經(jīng)過定點(diǎn)A（-2，3）．由圓心到直線的距離等于半徑求得k的值，可得此時(shí)直線的傾斜角．再根據(jù)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線也和半圓相切．當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（2，-1）時(shí)，直線的傾斜角為135°，
數(shù)形結(jié)合求得直線的傾斜角的范圍．

解答： 解：曲線y=-1+

4-x2

，即 x²+（y+1）²=4，表示以C（0，-1）
為圓心、半徑r=2的半圓
（圓位于直線y=-1的上方（含直線y=-1））．
直線kx-y+2k+3=0 即 k（x+2）-y+3=0，經(jīng)過定點(diǎn)A（-2，3）．
由圓心到直線的距離等于半徑可得

|2k+1+3|

k2+1

=2，求得k=-

3

4

，
故此時(shí)直線的傾斜角為180°-arctan

3

4

≈143°．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線也和半圓相切，如圖．
當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)（2，-1）時(shí)，直線的斜率為

3+1

-2-2

=-1，
此時(shí)直線的傾斜角為135°，
且當(dāng)直線的傾斜角在[135°，143°）時(shí)，直線和半圓有2個(gè)交點(diǎn)，不滿足條件，
故直線的傾斜角的范圍為[90°，135°）∪{143°}，
故答案為：[90°，135°）∪{143°}．

點(diǎn)評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．