【題目】如圖三棱柱中,側(cè)面為菱形,.
(Ⅰ)證明:;
(Ⅱ)若,,AB=BC,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)
【解析】
試題分析:(1)由四邊形是菱形可以得到,結(jié)合有平面,因此,根據(jù)是的中點(diǎn)得到.(2)由題設(shè)條件可證明,從而兩兩相互垂直,設(shè)為單位長(zhǎng),則建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)計(jì)算半平面的法向量的夾角來(lái)計(jì)算二面角的余弦值.
解析:(1)連接,交于點(diǎn),連接,因?yàn)閭?cè)面為菱形,所以,且為及的中點(diǎn),又,,所以平面.由于平面,故.又,故 .
(2)因?yàn)?/span>,且為的中點(diǎn),所以.又因?yàn)?/span>,所以,故,從而兩兩相互垂直,為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)?/span>軸正方向,為單位長(zhǎng),建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?/span>,所以為等邊三角形,又,則,.,,設(shè)是平面的法向量,則,即,所以可取,設(shè)是平面的法向量,則,同理可取,,所以二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=﹣x2+alnx(a∈R).
(1)當(dāng)a=2時(shí),求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程;
(2)若函數(shù)g(x)=f(x)﹣2x+2x2 , 討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;
(3)若(2)中函數(shù)g(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1 , x2(x1<x2),且不等式g(x1)≥mx2恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ex(x2+ax+a).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:當(dāng)a≥4時(shí),函數(shù)f(x)存在最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓與軸相切于點(diǎn),且被軸所截得的弦長(zhǎng)為,圓心在第一象限.
(Ⅰ)求圓的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)是直線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)作圓的切線(xiàn),切點(diǎn)為,當(dāng)△的面積最小時(shí),求切線(xiàn)的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓,傾斜角為的直線(xiàn)與橢圓相交于兩點(diǎn),且線(xiàn)段的中點(diǎn)為.過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線(xiàn)分別與橢圓交于點(diǎn),且滿(mǎn)足,其中為實(shí)數(shù).當(dāng)直線(xiàn)平行于軸時(shí),對(duì)應(yīng)的.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)當(dāng)變化時(shí),是否為定值?若是,請(qǐng)求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)討論的單調(diào)性;
(Ⅲ)若對(duì)任意的,恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高三一班舉辦消防安全知識(shí)競(jìng)賽,分別選出3名男生和3名女生組成男隊(duì)和女隊(duì),每人一道必答題,答對(duì)則為本隊(duì)得10分,答錯(cuò)與不答都得0分,已知男隊(duì)每人答對(duì)的概率依次為 , , ,女隊(duì)每人答對(duì)的概率都是 ,設(shè)每人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響,用X表示男隊(duì)的總得分.
(I) 求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望E(X);
(Ⅱ)求在男隊(duì)和女隊(duì)得分之和為50的條件下,男隊(duì)比女隊(duì)得分高的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 :,點(diǎn) , 分別是橢圓 的左頂點(diǎn)和左焦點(diǎn),點(diǎn) 是 : 上的動(dòng)點(diǎn),若 是常數(shù),則橢圓 的離心率為________________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,∠BAD=60°,M為DC的中點(diǎn),若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界),則 的最大值為( )
A.3
B.2
C.6
D.9
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