Question

【題目】選修4－1：幾何證明選講

如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點(diǎn)，PBC為割線，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點(diǎn)，F為CE上一點(diǎn)，且DE2=EF·EC.

（1）求證：P=EDF；

（2）求證：CE·EB=EF·EP．

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析．

【解析】（1）要證明兩角P，EDF相等，注意到， ，因此只要證C，EDF相等，這兩個(gè)角正好是可證相似的兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)角，這個(gè)相似由已知DE2=EF·EC.可證；（2）要證明線段乘積相等，在已知圓中由相交弦定理有CE·EB=ED·EA，再看ED·EA與EF·EP的相等可由相似三角形得到．

試題分析：

試題解析：證明（1）∵DE2=EF·EC，

∴DE : CE=EF: ED．

∵DEF是公共角，

∴ΔDEF∽ΔCED． ∴EDF=C．

∵CD∥AP， ∴C= P．

∴P=EDF．----5分

（2）∵P=EDF， DEF=PEA，

∴ΔDEF∽ΔPEA．∴DE : PE="EF" : EA．即EF·EP=DE·EA．

∵弦AD、BC相交于點(diǎn)E，∴DE·EA=CE·EB．∴CE·EB=EF·EP． 10分