分別以雙曲線G：的焦點為頂點，以雙曲線G的頂點為焦點作橢圓C，過橢圓C的右焦點作與x、y兩軸均不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在y軸上是否存在點N（0，n），使得？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，說明理由．

【答案】分析：（I）依題意可設橢圓C的方程為，a2=4，c2=2，b2=2．由此可知橢圓C的方程為
（II）橢圓C的右焦點為，得設A（x1，y1），B（x2，y2），記AB的中點為M（x，y），，由此入手能夠推導出n的取值范圍．
解答：解：（I）依題意可設橢圓C的方程為，
且a2=2+2+=4，c2=a2-b2=2，∴b2=2．（2分）
所以橢圓C的方程為（4分）
（II）橢圓C的右焦點為，


得（6分）
設A（x1，y1），B（x2，y2），記AB的中點為M（x，y），
，
∴，
若存在點，
等價于存在點，
從而，（8分）
解得，
當時取等號．（10分）
當
當且僅當時取等號．（11分）
所以存在點
且n的取值范圍是（14分）
點評：本題考查直線和橢圓的位置關系，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，仔細解答．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)分別以雙曲線G：
x2
2
-
y2
2
=1的焦點為頂點，以雙曲線G的頂點為焦點作橢圓C，過橢圓C的右焦點作與x、y兩軸均不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在y軸上是否存在點N（0，n），使得(
NA
+
NB
)•
AB
=0？若存在，求出n的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓以坐標原點為中心，坐標軸為對稱軸，且橢圓以拋物線y2=16x的焦點為其一個焦點，以雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1的焦點為頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）已知點A（-1，0），B（1，0），且C，D分別為橢圓的上頂點和右頂點，點P是線段CD上的動點，求
AP
•
BP
的取值范圍．
（3）試問在圓x2+y2=a2上，是否存在一點M，使△F1MF2的面積S=b2（其中a為橢圓的半長軸長，b為橢圓的半短軸長，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩個焦點），若存在，求tan∠F1MF2的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

分別以雙曲線G：
x2
16
-
y2
9
=1的焦點為頂點，以雙曲線G的頂點為焦點作橢圓C．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設點P的坐標為（0，3），在y軸上是否存在定點M，過點M且斜率為k的動直線l 交橢圓于A、B兩點，使以AB為直徑的圓恒過點P，若存在，求出M的坐標；若不存在，說明理由．

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