Question

如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)有三點(diǎn)P₁，P₂，P₃對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1+a，1+2a，1+3a，且|a|=2，O為原點(diǎn)，求當(dāng)S△P1OP2+S△P2OP3=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)a．

Answer 1

分析：如圖，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1，可知有向線段AP₁，AP₂，AP₃對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為a，2a，3a，因此A，P₁，P₂，P₃共線，利用面積關(guān)系：
S△P1OP2+S△P2OP3=S△OAP3-S△OAP1，可得到關(guān)系式，再來(lái)求解就可以了．

解答：解：AP₁，AP₂，AP₃對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為a，2a，3a，且它們有相同的輻角主值θ，即A，P₁，P₂，P₃共線．
∴S△AOP3=

1

2

|

OA

|•|

AP3

|sin•θ
=

1

2

•1•|3a|=sinθ=3sinθ
S△OAP1=

1

2

|

OA

|•|

AP1

|
=

1

2

•1•|a|•sinθ=sinθ
顯然S△P1OP2+S△P2OP3=S△OAP3-S△OAP1=2sinθ
從而2sinθ=2
sinθ=1，即θ=

π

2

[∵θ∈（0，2π）]
因此有a=±2i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的概念以及運(yùn)算，復(fù)數(shù)模的求法，復(fù)數(shù)的輻角的概念，三角形的面積的綜合問(wèn)題，