Question

設函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）若b=-12，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）如果函f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意知，f（x）的定義域為（-1，+∞），b=-12時，
由 ，得x=2（x=-3舍去），
當x∈（-1，2）時，f'（x）＜0，當x∈（2，+∞）時，f'（x）＞0，
所以當x∈（2，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增．
（2）由題意 在（-1，+∞）有兩個不等實根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，
設g（x）=2x²+2x+b，則 ，
解之得
分析：（1）首先考慮函數(shù)的定義域，然后求出導函數(shù)=0時的值，討論導數(shù)大于小于0時函數(shù)的遞增遞減區(qū)間即可；
（2）由題意可知導函數(shù)等于0時在（-1，+∞）有兩個不等實根，即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，設g（x）=2x²+2x+b=0，然后討論根的判別式大于0即g（-1）大于0得到b的范圍即可．
點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導數(shù)求函數(shù)極值的能力，理解函數(shù)恒成立條件的能力．