Question

已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）若函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)，求出符合條件的實數(shù)a的值；
（2）若方程f（x）=g（x）有兩解，求出實數(shù)a的取值范圍；
（3）若a＞0，記F（x）=g（x）f（x），試求函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=|x﹣a|為偶函數(shù)，
∴對任意的實數(shù)x，f（﹣x）=f（x）成立即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，
∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立
∵x+a=a﹣x不能恒成立
∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0．
（2）當a＞0時，|x﹣a|﹣ax=0有兩解，
等價于方程（x﹣a）²﹣a²x²=0在（0，+∞）上有兩解，
即（a²﹣1）x²+2ax﹣a²=0在（0，+∞）上有兩解，
令h（x）=（a²﹣1）x²+2ax﹣a²，
因為h（0）=﹣a²＜0，
所以 ，故0＜a＜1；
同理，當a＜0時，得到﹣1＜a＜0；
當a=0時，f（x）=|x|=0=g（x），顯然不合題意，舍去．
綜上可知實數(shù)a的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，1）．
（3）令F（x）=f（x）·g（x）
①當0＜a≤1時，則F（x）=a（x²﹣ax），
對稱軸 ，函數(shù)在[1，2]上是增函數(shù)，
所以此時函數(shù)y=F（x）的最大值為4a﹣2a²．
②當1＜a≤2時， ，
對稱軸 ，所以函數(shù)y=F（x）在（1，a]上是減函數(shù)，
在[a，2]上是增函數(shù)，F(xiàn)（1）=a²﹣a，F(xiàn)（2）=4a﹣2a²，
1）若F（1）＜F（2），即 ，此時函數(shù)y=F（x）的最大值為4a﹣2a²；
2）若F（1）≥F（2），即 ，此時函數(shù)y=F（x）的最大值為a²﹣a．
③當2＜a≤4時，F(xiàn)（x）=﹣a（x²﹣ax）
對稱軸 ，此時 ，
④當a＞4時，對稱軸 ，此時 ．
綜上可知，函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[1，2]上的最大值