Question

已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x）．令g（x）=|f′（x）|，記函數(shù)g（x）在區(qū)間[-1、1]上的最大值為M．
（Ⅰ）如果函數(shù)f（x）在x=1處有極值-

4

3

，試確定b、c的值：
（Ⅱ）若|b|＞1，證明對任意的c，都有M＞2
（Ⅲ）若M≧K對任意的b、c恒成立，試求k的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數(shù)求導(dǎo)，由題意可得

f(1)= - 4 3 f′(1)=0

，代入可求b，c，代入驗(yàn)證，找出符合條件的值．
（Ⅱ）（法1）代入整理g（x）=||-（x-b）²+b²+c|，結(jié)合|b|＞1的條件判斷函數(shù)f′（x）的對稱軸與區(qū)間[-1，1]的位置關(guān)系，從而求出該函數(shù)在[-1，1]上的最大值M，則M≥f′（1），M≥f′（-1），可證
（法2）利用反證法：假設(shè)M＜2，由（1）可知M應(yīng)是g（-1）和g（1）中較大的一個(gè)，則有

g(1)＜2 g(-1)＜2

，代入課產(chǎn)生矛盾．
（Ⅲ）（法1）M≥k恒成立?k≤M_min，轉(zhuǎn)化為求M的最小值
當(dāng)|b|＞1，結(jié)合（II）討論
|b|≤1兩只情況討論，此時(shí)M=max{g（-1），g（1），g（b）}，結(jié)合條件推理論證．
（法2）仿照法1，利用二次函數(shù)在區(qū)間[-1，1]的圖象及性質(zhì)求出M={g（-1），g（1），g（b）}，求出M的最小值，

解答：（Ⅰ）解：∵f'（x）=-x²+2bx+c，由f（x）在x=1處有極值-

4

3

可得

f′(1)=-1+2b+c=0 f(1)=- 1 3 +b+c+bc=- 4 3

解得

b=1 c=-1

，或

b=-1 c=3

若b=1，c=-1，則f'（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0，此時(shí)f（x）沒有極值；
若b=-1，c=3，則f'（x）=-x²-2x+3=-（x+1）（x-1）
當(dāng)x變化時(shí)，f（x），f'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	極小值-12	↗	極大值- 4 3	↘

∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極大值-

4

3

，故b=-1，c=3即為所求．

（Ⅱ）證法1：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）²+b²+c|
當(dāng)|b|＞1時(shí)，函數(shù)y=f'（x）的對稱軸x=b位于區(qū)間[-1.1]之外．
∴f'（x）在[-1，1]上的最值在兩端點(diǎn)處取得
故M應(yīng)是g（-1）和g（1）中較大的一個(gè)，
∴2M≥g（1）+g（-1）=|-1+2b+c|+|-1-2b+c|≥|4b|＞4，即M＞2

證法2（反證法）：因?yàn)閨b|＞1，所以函數(shù)y=f'（x）的對稱軸x=b位于區(qū)間[-1，1]之外，
∴f'（x）在[-1，1]上的最值在兩端點(diǎn)處取得．
故M應(yīng)是g（-1）和g（1）中較大的一個(gè)
假設(shè)M≤2，則M=maxg{（-1），g（1），g（b）}
將上述兩式相加得：4≥|-1-2b+c|+|-1+2b+c|≥4|b|＞4，導(dǎo)致矛盾，∴M＞2

（Ⅲ）解法1：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）²+b²+c|
（1）當(dāng)|b|＞1時(shí)，由（Ⅱ）可知f'（b）-f'（±1）=b（?1）²≥0；
（2）當(dāng)|b|≤1時(shí)，函數(shù)y=f'（x）的對稱軸x=b位于區(qū)間[-1，1]內(nèi)，
此時(shí)M=max{g（-1），g（1），g（b）}
由f'（1）-f'（-1）=4b，有f'（b）-f'（±1）=b（?1）²≥0
①若-1≤b≤0，則f'（1）≤f'（-1）≤f'（b），∴g（-1）≤max{g（1），g（b）}，
于是M=max{|f′(1)，|f′(b)|}≥

1

2

(|f′(1)|+f′(b)|)≥

1

2

|f′(1)-f′(b)|=

1

2

(b-1)2≥

1

2

②若0＜b≤1，則f'（-1）≤f'（1）≤f'（b），∴g（1）≤maxg（-1），g（b）
于是M=max{|f′(-1)|，|f′(b)|}≥

1

2

(|f′(-1)|+|f′(b)|)≥

1

2

|f′(-1)-f′(b)|=

1

2

(b+1)2＞

1

2

綜上，對任意的b、c都有M≥

1

2

而當(dāng)b=0，c=

1

2

時(shí)，g(x)=|-x2+

1

2

|在區(qū)間[-1，1]上的最小值M=

1

2

故M≥k對任意的b、c恒成立的k的最大值為

1

2

．
解法2：g（x）=|f'（x）|=|-（x-b）²+b²+c|
（1）當(dāng)|b|＞1時(shí)，由（Ⅱ）可知M＞2
（2）當(dāng)|b|≤1
y=f'（x）時(shí)，函數(shù)的對稱軸x=b位于區(qū)間[-1，1]內(nèi)，
此時(shí)M=max{g（-1），g（1），g（b）}
4M≥g（-1）+g（1）+2g（h）=|-1-2b+c|+|-1+2b+c|+2|b²+c|≥|-1-2b+c+（-1+2b+c）-2（b²+c）|=|2b²+2|≥2，
即M≥

1

2

下同解法1

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和不等式等基礎(chǔ)知識，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理論證的能力和分類類討論的思想．