Question

已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)P（1，1）能否作一條直線l，與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)？如果能，求出直線l的方程；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：設(shè)過(guò)點(diǎn)P（1，1）的直線方程為y=k（x-1）+1或x=1
（1）當(dāng)k存在時(shí)，有y=k（x-1）+1，，
得（2-k²）x²+（2k²-2k）x-k²+2k-3=0 （1）
當(dāng)直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則必有
△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜，
又方程（1）的兩個(gè)不同的根是兩交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)
∴x₁+x₂=，又P（1，1）為線段AB的中點(diǎn)
∴=1，即=1，k=2．
∴k=2，使2-k²≠0但使△＜0
因此當(dāng)k=2時(shí)，方程（1）無(wú)實(shí)數(shù)解
故過(guò)點(diǎn)P（1，1）與雙曲線交于兩點(diǎn)A、B且P為線段AB中點(diǎn)的直線不存在．
（2）當(dāng)x=1時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P但不滿足條件，
綜上，符合條件的直線l不存在．
分析：先假設(shè)存在這樣的直線l，分斜率存在和斜率不存在設(shè)出直線l的方程，當(dāng)k存在時(shí)，與雙曲線方程聯(lián)立，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，直線與雙曲線相交于兩個(gè)不同點(diǎn)，則△=（2k²-2k）²-4（2-k²）（-k²+2k-3）＞0，k＜，M是線段AB的中點(diǎn)，則=1，k=2 與k＜矛盾，當(dāng)k不存在時(shí)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P但不滿足條件，故符合條件的直線l不存在．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的靈活運(yùn)用．