Question

12．在三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB，AC，AD兩兩垂直，△ABC、△ACD、△ABD的面積分別為$2\sqrt{2}$、$2\sqrt{3}$、$2\sqrt{6}$，則三棱錐A-BCD的外接球的體積為8$\sqrt{6}$π．

Answer 1

分析 利用三棱錐側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，求出長(zhǎng)方體的三度，從而求出對(duì)角線長(zhǎng)，即可求解外接球的體積．

解答 解：三棱錐A-BCD中，側(cè)棱AB、AC、AD兩兩垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑，
設(shè)長(zhǎng)方體的三度為a，b，c，則由題意得：ab=4$\sqrt{6}$，ac=4$\sqrt{3}$，bc=4$\sqrt{2}$，
解得：a=2$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{2}$，c=2，
所以球的直徑為：$\sqrt{12+8+4}$=2$\sqrt{6}$
所以球的半徑為$\sqrt{6}$，
所以三棱錐A-BCD的外接球的體積為$\frac{4}{3}π•（\sqrt{6}）^{3}$=8$\sqrt{6}$π
故答案為：8$\sqrt{6}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查幾何體的外接球的體積，三棱錐轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方體，兩者的外接球是同一個(gè)，以及長(zhǎng)方體的對(duì)角線就是球的直徑是解題的關(guān)鍵所在．