Question

已知函數(shù)．
（1）若為的極值點，求實數(shù)的值；
（2）當(dāng)時，方程有實根，求實數(shù)的最大值。

Answer 1

(1) (2) 當(dāng)時，取得最大值0．

試題分析：（1）． 1分
因為為的極值點，所以． 2分
即，解得．     3分
又當(dāng)時，，從而的極值點成立． 4分
（2）若時，方程可化為，．
問題轉(zhuǎn)化為在上有解，
即求函數(shù)的值域．             7分
以下給出兩種求函數(shù)值域的方法：
方法1：因為，令，
則   ，             9分
所以當(dāng)，從而上為增函數(shù)，
當(dāng)，從而上為減函數(shù)，            10分
因此．
而，故，
因此當(dāng)時，取得最大值0．           12分
方法2：因為，所以．
設(shè)，則．
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；
因為，故必有，又，
因此必存在實數(shù)使得，
，所以上單調(diào)遞減；
當(dāng)，所以上單調(diào)遞增；
當(dāng)上單調(diào)遞減；
又因為，
當(dāng)，則，又．
因此當(dāng)時，取得最大值0．  12分
點評：主要是考查了運用導(dǎo)數(shù)來判定函數(shù)單調(diào)性以及函數(shù)的 極值問題，通過利用函數(shù)的單調(diào)性放縮法來證明不等式，進(jìn)而得到最值，屬于中檔題。