Question

已知f（x）=sin²x+acosx+2的最大值為g（a）．
（1）求g（a）的表達(dá)式；
（2）解不等式g（2sinx+4）≤5；
（3）若函數(shù)F（x）=g（x）-kx-3在[0，+∞]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）化簡(jiǎn)f（x），討論a的取值，求出f（x）的最大值，即得g（a）；
（2）求出2sinx+4的取值范圍，化簡(jiǎn)不等式g（2sinx+4）≤5，求出不等式的解集；
（3）畫出函數(shù)g（x）和h（x）的圖象，兩函數(shù)圖象在[0，+∞]上有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，即函數(shù)F（x）=g（x）-kx-3有兩個(gè)零點(diǎn)．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin²x+acosx+2
=1-cos²x+acosx+2
=-(cosx-

a

2

)2+

a2

4

+3，
當(dāng)-1≤

a

2

≤1，即2≤a≤2時(shí)，f（x）的最大值是

a2

4

+3；
當(dāng)

a

2

＞1，即a＞2時(shí)，f（x）的最大值是-(1-

a

2

)2+

a2

4

+3=a+2；
當(dāng)

a

2

＜-1，即a＜-2時(shí)，f（x）的最大值是-(-1-

a

2

)2+

a2

4

+3=-a+2；
∴g（a）=

-a+2，a＜-2 a2 4 +3，-2≤a≤2 a+2，a＞2

；
（2）∵-1≤sinx≤1，
∴-2≤2sinx≤2，
∴2≤2sinx+4≤6，
∴g（2sinx+4）=2sinx+4+2；
∴2sinx+4+2≤5，
∴sinx≤-

1

2

；
解得

7π

6

+2kπ≤x≤

11π

6

+2kπ，k∈Z，
即不等式的解集為[

7π

6

+2kπ，

11π

6

+2kπ]，k∈Z；
（3）根據(jù)題意，畫出圖象，如圖所示；
結(jié)合函數(shù)g（x）=

-a+2，a＜-2 a2 4 +3，-2≤a≤2 a+2

和h（x）=kx+3的圖象，
得k=

4-3

2-0

=

1

2

，
∴當(dāng)

1

2

≤k＜1時(shí)，兩函數(shù)圖象在在[0，+∞]上有兩個(gè)交點(diǎn)，
即函數(shù)F（x）=g（x）-kx-3在[0，+∞]上有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)零點(diǎn)的問(wèn)題，考查了函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．