Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動(dòng)圓的圓心軌跡C的方程；
（2）若直線l過點(diǎn)A，并與軌跡C交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足

PA

=3

AQ

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的定義知，到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離的點(diǎn)的軌跡為拋物線，所以動(dòng)圓圓心的軌跡為拋物線，再用求拋物線方程的方法求出軌跡C的方程即可．
（2）由題意直線的斜率存在，設(shè)方程為：y=k（x-1），代入拋物線方程，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用

PA

=3

AQ

，可求得x1=3，x2=

1

3

，從而可求直線l的方程．

解答：解：（1）∵動(dòng)圓過定點(diǎn)A（1，0），且與直線x=-1相切，
∴曲線C是以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為y²=4x．
（2）由題意直線的斜率存在，設(shè)方程為：y=k（x-1），代入拋物線方程，整理得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵

PA

=3

AQ

，∴

1-x1=3(x2-1) -y1=3y2

∴x1=3，x2=

1

3

∴3+

1

3

=

2k2+4

k2

∴k=±

3

∴直線l的方程為y=±

3

（x-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線方程的求解，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了求直線方程，解題時(shí)應(yīng)主要向量條件的運(yùn)用．