Question

設f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，3）是增函數(shù)，則k的取值范圍是

1. A.
   k＜0
2. B.
   0＜k≤1
3. C.
   k≥1
4. D.
   k≤1

Answer 1

C
分析：先求導函數(shù)f'（x），函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，3）上是減函數(shù)轉化成f'（x）≥0在區(qū)間（0，3）上恒成立，討論k的符號，從而求出所求．
解答：f'（x）=3kx²+6（k-1）x，
∵函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1在區(qū)間（0，3）上是增函數(shù)，
∴f'（x）=3kx²+6（k-1）x≥0在區(qū)間（0，3）上恒成立
當k=0時，f'（x）=-6＜0，顯然不成立；
當k＞0時，由于二次函數(shù)y=3kx²+6（k-1）x，開口向上，始終過原點，對稱軸為x=-=，
只有當≤0，才滿足3kx²+6（k-1）x≥0在區(qū)間（0，3）上恒成立，解得k≥1；
當k＜0時，由于二次函數(shù)y=3kx²+6（k-1）x，開口向下，始終過原點，對稱軸為x=-=，
只有當≥0，且f'（3）≥0，時才滿足，解得此時k，顯然與k＜0矛盾，故應舍去．
綜上，可知k≥1
故選C．
點評：本題主要考查導函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調性之間的關系，同時考查了分析與解決問題的綜合能力，屬于中檔題．