Question

13．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F（-1，0），點F到右頂點的距離為$\sqrt{2}$+1．
（1）求該橢圓方程；
（2）已知經(jīng)過點F且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，點M（-$\frac{5}{4}$，0），求$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$的值；
（3）若經(jīng)過點F的動直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，點M（-$\frac{5}{4}$，0），問$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$是否為定值？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c和a+c，解得a，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）寫出直線方程x=-1，代入橢圓方程求得A，B的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}$的坐標(biāo)，代入數(shù)量積公式得答案；
（3）設(shè)出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合數(shù)量積公式求解．

解答 解：（1）由題意得c=1，a+c=$\sqrt{2}+1$，
∴a=$\sqrt{2}$，則b²=a²-c²=1，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）把x=-1代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，解得：y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A（-1，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
又M（-$\frac{5}{4}$，0），
∴$\overrightarrow{MA}=（\frac{1}{4}，-\frac{\sqrt{2}}{2}），\overrightarrow{MB}=（\frac{1}{4}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
則$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{7}{16}$；
（3）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線方程為y=kx+k，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$．
y₁y₂=（kx₁+k）（kx₂+k）=${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+{k}^{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}$
$\overrightarrow{MA}=（{x}_{1}+\frac{5}{4}，{y}_{1}），\overrightarrow{MB}=（{x}_{2}+\frac{5}{4}，{y}_{2}）$，
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$（{x}_{1}+\frac{5}{4}）（{x}_{2}+\frac{5}{4}）+{y}_{1}{y}_{2}$=${x}_{1}{x}_{2}+\frac{5}{4}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{25}{16}+{y}_{1}{y}_{2}$
=$（1+{k}^{2}）{x}_{1}{x}_{2}+（\frac{5}{4}+{k}^{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+{k}^{2}+\frac{25}{16}$
=$（1+{k}^{2}）•\frac{2{k}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$$+（\frac{5}{4}+{k}^{2}）•\frac{-4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}+{k}^{2}+\frac{25}{16}$=$-\frac{7}{16}$．
又由（2）知，當(dāng)直線l垂直于x軸時$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=-$\frac{7}{16}$．
∴$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$是定值-$\frac{7}{16}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及直線和橢圓的位置關(guān)系問題，常采用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求解，是中檔題．