已知函數(shù)f(x)=ln(ex+a)(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),函數(shù)g(x)=λf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù)
(I)求a的值;
(II)求λ的取值范圍;
(III)若g(x)≤t2+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,求t的取值范圍.
分析:(1)直接利用奇函數(shù)的定義f(-x)=-f(x)恒成立代入整理后即可求a的值;
(2)利用g′(x)=λ+cosx≤0在[-1,1]上恒成立得出λ≤-cosx再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求λ的取值范圍;
(3)先利用函數(shù)g(x)在[-1,1]上單調(diào)遞減,求出其最大值,再把g(x)≤t2-λt+1在x∈[-1,1]上恒成立轉(zhuǎn)化為其最大值小于等于t2-λt+1恒成立,進(jìn)而得到(1-t)λ+t2+sin1+1≥0(其中λ≤-1)恒成立,再利用二次函數(shù)恒成立問(wèn)題的解法即可求t出的取值范圍.
解答:解:(1)∵函數(shù)f(x)=ln(ex+a)是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),∴f(0)=0所以a=0.…(3分)
(2)g(x)=λf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù)g′(x)=λ+cosx≤0在[-1,1]上恒成立∴λ≤-cosx.…(5分)
又∵cosx∈[cos1,1],∴-cosx∈[-1,-cos1].∴λ≤-1.…(8分)
(3)∵g(x)在區(qū)間[-1,1]上單調(diào)遞減,∴g(x)max=g(-1)=-λ-sin1.
只需-λ-sin1≤t2+λt+1.∴(t+1)λ+t2+sin1+1≥0.
 &其中λ≤-1
恒成立.…(10分)
令h(λ)=(t+1)λ+t2+sin1+1,
t+1≤0
-t-1+t2+sin1+1≥0.
t≤-1
t2-t+sin1≥0.

而t2-t+sin1≥0恒成立,∴t≤-1.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和奇偶性以及函數(shù)恒成立問(wèn)題.二次函數(shù)的恒成立問(wèn)題分兩類,一是大于0恒成立須滿足開(kāi)口向上,且判別式小于0,二是小于0恒成立須滿足開(kāi)口向下,且判別式小于0.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=2x-2+ae-x(a∈R)
(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若直線l:y=kx-2與曲線y=f(x)在(-∞,0)上有公共點(diǎn),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2+2|lnx-1|.
(1)求函數(shù)y=f(x)的最小值;
(2)證明:對(duì)任意x∈[1,+∞),lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立;
(3)對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上的不同兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2),如果在函數(shù)f(x)圖象上存在點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0∈(x1,x2))使得點(diǎn)M處的切線l∥AB,則稱直線AB存在“伴侶切線”.特別地,當(dāng)x0=
x1+x2
2
時(shí),又稱直線AB存在“中值伴侶切線”.試問(wèn):當(dāng)x≥e時(shí),對(duì)于函數(shù)f(x)圖象上不同兩點(diǎn)A、B,直線AB是否存在“中值伴侶切線”?證明你的結(jié)論.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線l與直線x+3y-1=0垂直,若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn,則S2012的值為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xlnx
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);
(Ⅱ)若直線l過(guò)點(diǎn)(0,-1),并且與曲線y=f(x)相切,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
,a≠0且a≠1.
(1)試就實(shí)數(shù)a的不同取值,寫(xiě)出該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)已知當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)在(0,
6
)上單調(diào)遞減,在(
6
,+∞)上單調(diào)遞增,求a的值并寫(xiě)出函數(shù)的解析式;
(3)記(2)中的函數(shù)圖象為曲線C,試問(wèn)是否存在經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線l,使得l為曲線C的對(duì)稱軸?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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