Question

【題目】若函數(shù)滿足：對于其定義域內(nèi)的任何一個自變量，都有函數(shù)值，則稱函數(shù)在上封閉.

（1）若下列函數(shù)：，的定義域為，試判斷其中哪些在上封閉，并說明理由.

（2）若函數(shù)的定義域為，是否存在實數(shù)，使得在其定義域上封閉？若存在，求出所有的值，并給出證明；若不存在，請說明理由.

（3）已知函數(shù)在其定義域上封閉，且單調(diào)遞增，若且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）在上封閉，理由見解析；（2）存在，，證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)定義域，求得函數(shù)的值域，利用新定義，即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)函數(shù)封閉定義轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，再利用變量分離法求解，可求a的值．

（3）函數(shù)f（x）在其定義域D上封閉，且單調(diào)遞增，假設(shè)，根據(jù)單調(diào)函數(shù)性質(zhì)可證假設(shè)不成立，由此能證明f（x0）=x0．

（1）當時，，

∴在上不封閉；

，

∴在上封閉.

（2）設(shè)存在實數(shù)，使得在上封閉，

即對一切，恒成立，

∵，∴，

即恒成立，

∵∴；

∵∴.

綜上，滿足條件的.

（3）假設(shè)，

①若，∵，在上單調(diào)遞增，

∴，即，矛盾；

②若，∵，，在上單調(diào)遞增，

∴，即，矛盾.

∴假設(shè)不成立，.