Question

已知正方形的面積是5cm²，圖陰影部分是兩個(gè)四分之一圓所圍成的面積，求陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：定積分

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先建系，構(gòu)造曲線方程和直線方程，陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為=2

∫

5 0

[

5-x2

-（-x+

5

）]dx，再根據(jù)定積分的幾何意義即可求出．

解答： 解：方法一：如圖，以正方形的邊長為x軸和y軸，
則圓的直線方程為x²+y²=5，
則曲線的方程為y=

5-x2

，0≤x≤

5

，
直線方程為y=-x+

5

，
所以陰影部分的面積為S=2

∫

5 0

[

5-x2

-（-x+

5

）]dx，
因?yàn)?span id="lbbltvz" class="MathJye">

∫

5 0

5-x2

dx表示是圓的面積的四分之一，故

∫

5 0

5-x2

dx=

1

4

×π×5，

∫

5 0

（-x+

5

）dx表示三角形的面積，即為正方形面積的一半，故

∫

5 0

（-x+

5

）dx=

5

2

，
故S=2

∫

5 0

[

5-x2

-（-x+

5

）]dx=2（

5π

4

-

5

2

）=

5π

2

-5，
所以陰影部分的面積為

5π

2

-5．
方法二，陰影部分的面積等于半圓的面積減去正方形的面積，故S=

1

2

π×5-5=

5π

2

-5．

點(diǎn)評：本題主要考查了的定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．