Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC∥AB，∠BAD=90°，且AB=2AD=2DC=2PD=4（單位：cm），E為PA的中點．
（1）證明：DE∥平面PBC；
（2）證明：DE⊥平面PAB．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)PB的中點為F，連接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，可證四邊形CDEF為平行四邊形，再利用直線與平面平行的判定定理進行證明，即可解決問題；
（2）由題意可知PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，可得AB⊥PD，然后再利用直線與平面垂直的判定定理進行證明；
解答：解：（1）設(shè)PB的中點為F，連接EF、CF，EF∥AB，DC∥AB，
所以EF∥DC，且EF=DC=AB，
故四邊形CDEF為平行四邊形，
可得ED∥CF．（4分）
ED?平面PBC，CF?平面PBC，
故DE∥平面PBC．（7分）
（2）PD⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
所以AB⊥PD，
又因為AB⊥AD，PD∩AD=D，
AD?平面PAD，PD?平面PAD，
所以AB⊥平面PAD．（10分）
ED?平面PAD，故ED⊥AB，
又PD=AD，E為PA之中點，故ED⊥PA；（12分）
PA∩AB=A，PA?平面PAB，AB?平面PAB，
∴DE⊥平面PAB．（14分）
點評：此題考查直線與平面平行的判斷及直線與平面垂直的判斷，第一問的此類問題一般先證明兩個面平行，再證直線和面平行，這種做題思想要記住，此類立體幾何題是每年高考必考的一道大題，同學們要課下要多練習．